Первый замечательный предел (основной тригонометрический предел) имеет вид \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1. Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов: {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\tg x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\;\;\;} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\arctg x}}{x} = 1.}
Пример 1
Вычислить предел \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{7x}}{{\sin 5x}}\normalsize .
Решение.
L = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{7x}}{{\sin 5x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5 \cdot 7x}}{{5\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{\sin 5x}} } = {\frac{7}{5}\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}} } = {\frac{7}{5}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}}.} Так как 5x \to 0 при x \to 0 , то L = \frac{7}{5}\frac{{\lim\limits_{x \to 0} 1}}{{\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}} = \frac{7}{{5\lim\limits_{5x \to 0} \large\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\normalsize}} = \frac{7}{{5 \cdot 1}} = \frac{7}{5}.
Пример 2
Вычислить предел \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\cos {5x} — \cos {3x}}}{{{x^2}}}\normalsize .
Решение.
Преобразуем числитель в произведение: \cos{5x} — \cos {3x} = { — 2\sin \frac{{5x — 3x}}{2}\sin \frac{{5x + 3x}}{2} } = { — 2\sin x\sin 4x. } В результате получаем \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 5x — \cos 3x}}{{{x^2}}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\left( { — 2\sin x\sin 4x} \right)}}{{{x^2}}} } = {- 2\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{x} } = {- 2 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{2x \to 0} \frac{{4\sin 4x}}{{4x}} } = {- 2 \cdot 4\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{4x}} = — 8.}
Пример 3
Вычислить предел \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin7x — \sin 5x}}{{\sin x}}\normalsize .
Решение.
Используем следующее тригонометрическое тождество: \sin x — \sin y = 2\sin \frac{{x — y}}{2}\cos \frac{{x + y}}{2}. Получаем \lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin7x — \sin 5x}}{{\sin x}} = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \large\frac{{7x — 5x}}{2}\normalsize\cos \large\frac{{7x + 5x}}{2}\normalsize}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin x\cos 6x}}{{\sin x}} } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right).} Поскольку \cos{6x} является непрерывной функцией при x = 0 , то \lim\limits_{x \to 0} \left( {2\cos 6x} \right) = {2\lim\limits_{x \to 0} \cos 6x } = {2 \cdot \cos \left( {4 \cdot 0} \right) = 2 \cdot 1 = 2.}
Пример 9
Найти предел \lim\limits_{x \to 0 + 0} \large\frac{{\sqrt {1 — \cos x} }}{x}\normalsize .
Решение.
Используем тригонометрическую формулу 1 — \cos x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}. Тогда предел можно преобразовать следующим образом: L = {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {1 — \cos x} }}{x}} = {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {2{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize} }}{x} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{\sqrt {{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize} }}{x} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}}} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{x^2}}} \cdot \frac{4}{4}} } = {\sqrt 2 \lim\limits_{x \to 0 + 0} \left( {\sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{{{x^2}}}{4}\normalsize}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 4 }}} \right) } = {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\lim\limits_{x \to 0 + 0} \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{{\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize} \right)}^2}}}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\lim\limits_{x \to 0 + 0} \frac{{{{\sin }^2}\large\frac{x}{2}\normalsize}}{{{{\left( {\large\frac{x}{2}\normalsize} \right)}^2}}}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{{\left[ {\lim\limits_{\large\frac{x}{2}\normalsize \to 0 + 0} \left( {\frac{{\sin \large\frac{x}{2}\normalsize}}{{\large\frac{x}{2}\normalsize}}} \right)} \right]}^2}} } = {\frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {{1^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.} Здесь мы учли, что предел остается неизменным при замене предельного перехода x \to 0 на \large\frac {x}{2}\normalsize \to 0 .
