Определение предела по Коши и Гейне
Пример 1
Доказать по определению, что \lim\limits_{x \to 3} {x^2} = 9, при этом используя \varepsilon-\delta- определение предела.
Решение.
Для начала положим, что \delta = 1, т.е.
\left| {x — 3} \right| < 1. Пусть \varepsilon > 0 является произвольным положительным числом. Тогда можно записать следующее неравенство:
\left| {{x^2} — 9} \right| < \varepsilon ,\;\;{\Rightarrow \left| {x — 3} \right|\left| {x + 3} \right| < \varepsilon ,\;\; }{\Rightarrow \left| {x — 3} \right|\left( {x + 3} \right) < \varepsilon .}
Так как максимальное значение x равно 4 (поскольку положено значение \delta ), то получаем
7\left| {x — 3} \right| < \varepsilon \;\;(\text{если } \left| {x — 3} \right| < 1),\;{\text{или}\;\left| {x — 3} \right| < \frac{\varepsilon }{3}.} Тогда для любого произвольного числа \varepsilon > 0 мы можем выбрать число \delta такое, что
\delta = \min \left( {\frac{\varepsilon }{3},1} \right).
Искомый предел мы доказали, поскольку неравенства выполнены.
Пример 2
Используя \varepsilon-\delta- определение предела, показать что \lim\limits_{x \to 4} \left( {5x — 2} \right) = 18.
Решение.
Пусть \varepsilon > 0 — это произвольное положительное число. Положим \delta = \large\frac{\varepsilon }{5}\normalsize.
Очевидно, что если
0 < \left| {x — 4} \right| < \delta,
то
\left| {f\left( x \right) — L} \right| = \left| {\left( {5x — 2} \right) — 18} \right| = \left| {5x — 20}\right|={ 5\left| {x — 4} \right| < 5\delta = 5 \cdot \frac{\varepsilon }{5} =\varepsilon .}
Мы доказали, предел согласно определения Коши.
Пример 3
Используя \varepsilon-\delta- определение предела, найти значение \delta, соответствующее
заданному числу \varepsilon для следующего предела
\lim\limits_{x \to 11} \sqrt {x + 5} = 4,\;\;\varepsilon = 0.2
Решение.
В соответствии с определением предела можно записать
\left| {f\left( x \right) — 4} \right| < \varepsilon ,\;\text{если}\;\left| {x — 11} \right| < \delta .
Подставляя {f\left( x \right)} и \varepsilon, получаем
{\left| {\sqrt {x + 5} — 4} \right| < 0.2,}\;\;{\Rightarrow — 0.2 < \sqrt {x + 5} — 4 < 0.2,} \;\;
{\Rightarrow 4 — 0.2 < \sqrt {x + 5} < 4 + 0.2,}\;\;{\Rightarrow 3.8 < \sqrt {x + 5} < 4.2}
Возведем в квадрат все части неравенства.
{14,44< x + 5 < 17,64}\;\;{\Rightarrow 9,44< x < 12,64,}\;\;{\Rightarrow — 1.56 < x — 11 < 1.64,}
что эквивалентно неравенству
\left| {x — 11} \right| < 1.56 Таким образом, нужно выбрать число \delta=1.56, чтобы исходное неравенство выполнялось.
Пример 4
Доказать по определению, что \lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{2x + 1}}{x}\normalsize = 2.
Решение. Аналогичную технику мы можем применять и к пределам при x \to \infty . Предположим, что \varepsilon > 0. Нам необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство:
<br />
{\left| {\frac{{2x + 1}}{x} — 1} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br />
{\Rightarrow \left| {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right) — 2} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br />
{\Rightarrow \left| {\frac{1}{x}} \right| < \varepsilon .} Выберем некоторое число N, зависящее от \varepsilon, такое, что \left| x \right| > N.
Неравенство \left| {\large\frac{1}{x}}\normalsize \right| < \varepsilon будет удовлетворено, если \left| x \right| > \frac{2}{\varepsilon } = N.
Это означает, что при больших N (когда x \to \infty )
\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2x + 1}}{x} = 2.
Данная функция схематически показана на рисунке 1.
Рис.1
Пример 5
Доказать, что \lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{6x — 7}}{{x + 1}}\normalsize = 6.
Решение.
Предположим, что \varepsilon > 0. Найдем число N — такое, что для любого x > N
будет справедливо неравенство
\left| {\frac{{6x — 7}}{{x + 1}} — 6} \right| < \varepsilon .
Преобразуем данное неравенство.
{\left| {\frac{{6x — 7}}{{x + 1}} — 6} \right| < \varepsilon ,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\frac{{6x — 7 — 6\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\frac{{6x — 7 — 6x — 6}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\frac{{ — 13}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {x + 1}\right| > \frac{13}{\varepsilon }.}
Поскольку 0 < x < N, то x + 1 > 0\; и можно просто записать
x + 1 > \frac{13}{\varepsilon }\;\;\text{или}\;\;x > \frac{13}{\varepsilon } — 1.
Полагая N = \large\frac{13}{\varepsilon }\normalsize — 1 (или N = 0, если эта разность отрицательная),
получаем
\left| {\frac{{6x — 7}}{{x + 1}} — 6} \right| < \varepsilon \;\;\text{для всех}\;\;x > N.
Это означает, что (см. рис.2)
\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{6x — 7}}{{x + 1}} = 6.
Рис. 2
