Логарифм по основанию e (e — трансцендентное число, приближенно равное 2.718281828\ldots) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается \ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
Соотношение между логарифмом по основанию a и натуральным логарифмом Пусть число a является основанием логарифма (a > 0, a \ne 1), и пусть задана логарифмическая функция y = {\log _a}x. Отсюда следует, что {a^y} = x. Взяв натуральный логарифм от левой и правой части, получаем \ln {a^y} = \ln x,\;\; {\Rightarrow y\ln a = \ln x,}\;\; {\Rightarrow y = \frac{1}{{\ln a}}\ln x,}\;\; {\Rightarrow {\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}.} Последняя формула выражает произвольный логарифм числа x по основанию a через натуральный логарифм этого числа. Полагая x = e, можно записать {\log _a}e = \frac{1}{{\ln a}}\ln e = \frac{1}{{\ln a}}. Если a = 10, то получаем десятичный логарифм: {\log _{10}}x = \lg x = M\,{\ln x} ,\;\; {\text{где}\;\;M = \frac{1}{{\ln a}} = \lg e \approx 0.43429 \ldots } Обратное соотношение имеет вид: \ln x = \frac{1}{M}\lg x,\;\; {\text{где}\;\;\frac{1}{M} = \ln 10 \approx 2.30258 \ldots } Графики функций y = \ln x и y = \lg x показаны на рисунке 1.
Рис.1
Пример 1. Вычислить \ln \large\frac{1}{{\sqrt e }}\normalsize.
Решение. \ln \frac{1}{{\sqrt e }} = \ln {e^{ — \large\frac{1}{2}\normalsize}} = — \frac{1}{2}\ln e = — \frac{1}{2}. Пример 2 Записать в виде одного логарифма \large\frac{1}{3}\normalsize\ln \left( {x — 1} \right) — {\large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {x + 1} \right)} + {2\ln x}.
Решение. \frac{1}{3}\ln \left( {x — 1} \right) — \frac{1}{2}\ln \left( {x + 1} \right) + 2\ln x = {\ln {\left( {x — 1} \right)^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} — \ln {\left( {x + 1} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} + \ln {x^2} } = {\ln \sqrt[\large 3\normalsize]{{x — 1}} — \ln \sqrt {x + 1} + \ln {x^2} } = {\ln \frac{{{x^2}\sqrt[3]{{x — 1}}}}{{\sqrt {x + 1} }}.}
Пример 3. Схематически изобразить график функции y = \ln \left( {x + 1} \right) — 1.
Решение. График функции y = \ln \left( {x + 1} \right) — 1 получается в результате сдвига графика функции y = \ln x на одну единицу влево (при этом мы получаем функцию y = \ln \left( {x + 1} \right)) и на одну единицу вниз (рисунок 2).
Пример 4. Схематически изобразить график функции y = \left| {\ln x} \right|.
Решение. График искомой функции (рисунок 3) получается в результате следующих преобразований. Часть графика функции y = \left| {\ln x} \right|, лежащая в области x \ge 1, совпадает с графиком функции y = \ln x. Остальная часть, соответствующая y < 0 (при 0 < x < 1), отражается относительно оси Ox в верхнюю полуплоскость.
Пример 5. Схематически изобразить график функции y = \left| {\ln \left| x \right|} \right|.
Решение. Сначала мы построим график функции y = \left| {\ln x} \right|, как описано в предыдущем примере. Затем отразим график этой функции относительно оси Oy в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой график искомой функции y = \left| {\ln \left| x \right|} \right| (рисунок 4).
