Натуральный логарифм

«http://math24.ru/определение-предела-функции.html»;»Определение предела функции»;»предел функции, определение предела, Коши, Гейне, односторонний предел»;»Определение предела по Коши и Гейне

Пусть функция f\left( x \right) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку
x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f\left( a \right) было
обязательно определено.)

Число L называется пределом функции f\left( x \right)
при x \to a, если для каждого \varepsilon > 0 существует такое число \delta > 0, что

\left| {f\left( x \right) — L} \right| < \varepsilon ,

при условии

0 < \left| {x — a} \right| < \delta .

Данное определение предела известно как \varepsilon-\delta- определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f\left( x \right)
имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности \left\{ {{x_n}} \right\}, сходящейся к точке a, последовательность
f\left( {{x_n}} \right) сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Односторонние пределы

Символом \lim\limits_{x \to a — 0} обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a,
принимает значения x < a. Соответствующий предел \lim\limits_{x \to a — 0} f\left( x \right) называется левосторонним пределом функции
f\left( x \right) в точке x = a.

Аналогично, символом \lim\limits_{x \to a + 0} обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к
a, принимает значения x > a. Соответствующий предел \lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right)
называется правосторонним пределом функции f\left( x \right) в точке x = a.

Отметим, что двусторонний предел \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу,
то есть \lim\limits_{x \to a — 0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a + 0}f\left( x \right) . В этом случае

\lim\limits_{x \to a}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a — 0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a + 0}f\left( x \right).

Пример 1

Используя \varepsilon-\delta- определение предела, показать что \lim\limits_{x \to 3} \left( {3x — 2} \right) = 7.

Решение.

Пусть \varepsilon > 0 является произвольным положительным числом. Выберем \delta = \large\frac{\varepsilon }{3}\normalsize.
Очевидно, что если

0 < \left| {x — 3} \right| < \delta,

то

\left| {f\left( x \right) — L} \right| = \left| {\left( {3x — 2} \right) — 7} \right| = \left| {3x — 9} \right|<br /> ={ 3\left| {x — 3} \right| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon }{3} = \varepsilon .}<br />

Данный предел доказан в соответствии с определением Коши.

Пример 2

Используя \varepsilon-\delta- определение предела, показать что \lim\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.

Решение.

Положим для простоты, что \delta = 1, т.е.

\left| {x — 2} \right| < 1. Пусть \varepsilon > 0 является произвольным положительным числом. Тогда можно записать следующее неравенство:

\left| {{x^2} — 4} \right| < \varepsilon ,\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {x — 2} \right|\left| {x + 2} \right| < \varepsilon ,\;\; }<br /> {\Rightarrow \left| {x — 2} \right|\left( {x + 2} \right) < \varepsilon .}<br />

Так как максимальное значение x равно 3 (в соответствии с выбранным выше значением \delta ), то получаем

5\left| {x — 2} \right| < \varepsilon \;\;(\text{если } \left| {x — 2} \right| < 1),\;<br /> {\text{или}\;\left| {x — 2} \right| < \frac{\varepsilon }{2}.} Тогда для любого произвольного числа \varepsilon > 0 мы можем выбрать число \delta такое, что

\delta = \min \left( {\frac{\varepsilon }{2},1} \right).

В результате неравенства в определении предела будут выполнены. Искомый предел доказан.

Пример 3

Используя \varepsilon-\delta- определение предела, найти значение \delta, соответствующее
заданному числу \varepsilon для следующего предела

\lim\limits_{x \to 7} \sqrt {x + 2} = 3,\;\;\varepsilon = 0.2

Решение.

В соответствии с определением предела можно записать

\left| {f\left( x \right) — 3} \right| < \varepsilon ,\;\text{если}\;\left| {x — 7} \right| < \delta .

Подставляя {f\left( x \right)} и \varepsilon, получаем

<br /> {\left| {\sqrt {x + 2} — 3} \right| < 0.2,}\;\;<br /> {\Rightarrow — 0.2 < \sqrt {x + 2} — 3 < 0.2,} \;\;<br /> {\Rightarrow 3 — 0.2 < \sqrt {x + 2} < 3 + 0.2,}\;\;<br /> {\Rightarrow 2.8 < \sqrt {x + 2} < 3.2}<br />

Возведем в квадрат все части неравенства.

<br /> {7.84 < x + 2 < 10.24,}\;\;<br /> {\Rightarrow 5.84 < x < 8.24,}\;\;<br /> {\Rightarrow — 1.16 < x — 7 < 1.24,}<br />

что эквивалентно неравенству

\left| {x — 7} \right| < 1.16

Таким образом, нужно выбрать число \delta = 1.16, чтобы исходное неравенство выполнялось.

Пример 4

Доказать, что \lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{x + 1}}{x}\normalsize = 1.

Решение.

Аналогичную технику мы можем применять и к пределам при x \to \infty .
Предположим, что \varepsilon > 0. Нам необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство:

<br /> {\left| {\frac{{x + 1}}{x} — 1} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) — 1} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {\frac{1}{x}} \right| < \varepsilon .} Выберем некоторое число N, зависящее от \varepsilon, такое, что \left| x \right| > N.
Неравенство \left| {\large\frac{1}{x}}\normalsize \right| < \varepsilon будет удовлетворено, если \left| x \right| > \frac{1}{\varepsilon } = N.

Это означает, что при больших N (когда x \to \infty )

\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1}}{x} = 1.

Данная функция схематически показана на рисунке 1.

img src=»»images/image_9.jpg»» width=»»300″»>
img src=»»images/image_10.jpg»» width=»»300″»>
Рис.1
Рис.2

Пример 5

Доказать, что \lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{2x — 3}}{{x + 1}}\normalsize = 2.

Решение.

Предположим, что \varepsilon > 0. Найдем число N — такое, что для любого x > N
будет справедливо неравенство

\left| {\frac{{2x — 3}}{{x + 1}} — 2} \right| < \varepsilon .

Преобразуем данное неравенство.

<br /> {\left| {\frac{{2x — 3}}{{x + 1}} — 2} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {\frac{{2x — 3 — 2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {\frac{{2x — 3 — 2x — 2}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\;<br /> {\Rightarrow \left| {\frac{{ — 5}}{{x + 1}}} \right| < \varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {x + 1} \right| > \frac{5}{\varepsilon }.}<br />

Поскольку 0 < x < N, то x + 1 > 0\; и можно просто записать

x + 1 > \frac{5}{\varepsilon }\;\;\text{или}\;\;x > \frac{5}{\varepsilon } — 1.

Полагая N = \large\frac{5}{\varepsilon }\normalsize — 1 (или N = 0, если эта разность отрицательная),
получаем

\left| {\frac{{2x — 3}}{{x + 1}} — 2} \right| < \varepsilon \;\;\text{для всех}\;\;x > N.

Это означает, что (см. рис.2)

\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2x — 3}}{{x + 1}} = 2.«