Число e. Второй замечательный предел. Примеры

Пример 1

Вычислить предел \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{n}}\normalsize \right)^{n + 7}}.

Решение.
{\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 7}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^7}} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \cdot \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^7} } = {e \cdot 1 = e.}

Пример 2

Вычислить предел \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{x}}\normalsize \right)^{4x}}.

Решение.
Поскольку, предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, имеем {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^{4x}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x}} \right] } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \cdot\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \cdot \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \cdot \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} } = {e \cdot e \cdot e \cdot e = {e^4}.}

Пример 3

Вычислить предел \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{5}{x}}\normalsize \right)^x}.

Решение.
Сделаем замену: \large\frac{5}{x}\normalsize = \large\frac{1}{y}\normalsize, так что x = 5y и y \to \infty, если x \to \infty. В результате получаем {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{5}{x}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)^{5y}} } = {\lim\limits_{y \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)}^y}} \right]^5} } = {{\left[ {\lim\limits_{y \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)}^y}} \right]^5} = {e^5}.}

Пример 4

Вычислить предел \lim\limits_{x \to 0} \sqrt[\large x\normalsize]{{1 + 4x}}.

Решение.
{\lim\limits_{x \to 0} \sqrt[\large x\normalsize]{{1 + 4x}} = \lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + 4x} \right)^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{4x \to 0} {\left( {1 + 4x} \right)^{\large\frac{1}{{4x}}\normalsize \cdot 4}} } = {\lim\limits_{4x \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + 4x} \right)}^{\large\frac{1}{{4x}}\normalsize}}} \right]^4} } = {{\left[ {\lim\limits_{4x \to 0} {{\left( {1 + 4x} \right)}^{\large\frac{1}{{4x}}\normalsize}}} \right]^4} = {e^4}.}

Пример 5

Вычислить предел \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{{x + b}}{{x — b}}\normalsize} \right)^x}.

Решение.
Сначала преобразуем основание функции: {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + b}}{{x — b}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x — b + 2b}}{{x — b}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2b}}{{x — b}}} \right)^x}.} Введем новую переменную: y = \large\frac{{2b}}{{x — b}}\normalsize. Если x \to \infty, то y \to 0 и x — b = \frac{{2b}}{y},\;\;x = b + \frac{{2b}}{y}. В результате замены получаем {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2b}}{{x — b}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{b + \large\frac{{2b}}{y}\normalsize}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^b} \cdot \lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{\large\frac{{2b}}{y}\normalsize}} } = {1 \cdot {e^{2b}} = {e^{2b}}.}

Пример 6

Вычислить предел \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{x}{{x — 1}}\normalsize} \right)^x}.

Решение.
Для начала преобразуем основание: {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{x}{{x — 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x — 1 + 1}}{{x — 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 +\frac{1}{{x — 1}}} \right)^x}.} Сделаем замену {  \large\frac{1}{{x — 1}}\normalsize} = y. Тогда x — 1 =  \frac{1}{y},\;\; \Rightarrow x = \frac{1}{y} + 1\;\; {\text{и}\;\; y \to 0,\;\;\text{если}\;\;x \to \infty .} Теперь можно найти предел: {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{x — 1}}} \right)^x} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left( {1 + y} \right)^{  \large\frac{1}{y}\normalsize + 1}} } = {{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{ \large\frac{1}{y}\normalsize}}}}\cdot{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{ + 1}}}} } = {{{\lim\limits_{y \to 0} {{\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]}}}}\cdot{1} } = {{\left[ {\lim\limits_{y \to 0} {{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]} = {e}.}

Пример 7

Вычислить предел \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\large\frac{{x + 5}}{{x — 7}}\normalsize} \right)^{x — 4}}.

Решение.
Преобразуем предел следующим образом: {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 5}}{{x — 7}}} \right)^{x — 4}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x — 7 + 12}}{{x — 7}}} \right)^{x — 1}}} = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{12}{{x — 7}}} \right)^{x — 4}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{12}{{x — 7}}} \right)^{\left( {\large\frac{{x — 7}}{12} \cdot \frac{12}{{x — 7}}\normalsize} \right) \cdot \left( {x — 4} \right)}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{12}{{x — 7}}} \right)}^{\large\frac{{x — 7}}{12}}\normalsize}} \right]^{\large\frac{{12\left( {x — 4} \right)}}{{x — 7}}}}\normalsize.} Сделаем замену: {\frac{12}{{x — 7}} = y,}\;\; {\Rightarrow x — 7 = \frac{12}{y},}\;\; {\Rightarrow x = \frac{12}{y} + 7.} Здесь y \to 0 когда x \to \infty. Тогда предел равен {L = \lim\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{\left( {1 + \frac{12}{{x — 7}}} \right)}^{\large\frac{{x — 7}}{12}\normalsize}}} \right]^{\large\frac{{12\left( {x — 4} \right)}}{{x — 7}}\normalsize}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{y\left( {\large\frac{12}{y}\normalsize + 7- 4} \right)}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{12 + 3y}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{12}} \cdot \lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{3y}} } = {\lim\limits_{y \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^{\large\frac{1}{y}\normalsize}}} \right]^{12}} \cdot \lim\limits_{y \to 0} \left( {1 + y} \right) = {e^{12}} \cdot 1 = {e^{12}}.}

Пример 8

Найти предел \lim\limits_{x \to b} \large\frac{{\ln x — \ln b}}{{x — b}}\normalsize,\;\left( {b > 0} \right).

Решение.
Пусть x — b = t. Легко видеть, что t \to 0 при x \to b. Тогда {L = \lim\limits_{x \to b} \frac{{\ln x — \ln b}}{{x — b}} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {t + b} \right) — \ln b}}{t} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \large\frac{{t + b}}{b}\normalsize}}{t} } = {\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln \left( {1 + \frac{t}{b}} \right).} Сделаем еще одну замену: \frac{t}{b} = z,\;\;z \to 0\;\;\text{при}\;\;t \to 0. Следовательно, предел равен: {L = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\ln \left( {1 + \frac{t}{b}} \right) } = {\lim\limits_{z \to 0} \frac{1}{{bz}}\ln \left( {1 + z} \right) } = {\frac{1}{b}\lim\limits_{z \to 0} \ln {\left( {1 + z} \right)^{\large\frac{1}{z}\normalsize}} } = {\frac{1}{b}\ln \left[ {\lim\limits_{z \to 0} {{\left( {1 + z} \right)}^{\large\frac{1}{z}\normalsize}}} \right] } = {\frac{1}{b}\ln e = \frac{1}{b}.}

Пример 9

Найти предел \lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 2x} \right)^{\large\frac{1}{2x}\normalsize}}.

Решение.
Данный предел можно представить в следующей форме: {L = \lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 2x} \right)^{\large\frac{1}{2x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 2x} \right)^{\large\frac{1}{{\sin 2x}} \cdot \frac{{\sin 2x}}{2x}\normalsize}} } = {\lim\limits_{x \to 0} {\left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right]^{\large\frac{{\sin 2x}}{2x}\normalsize}}.} После взятия логарифма получаем {\ln L = \ln \left( {\lim\limits_{x \to 0} {{\left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right]}^{\large\frac{{\sin 2x}}{2x}\normalsize}}} \right) } = {\lim\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin 2x}}{2x} \cdot \ln \left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right]} \right) } = {\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \left( {\ln \left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right]} \right).} Заметим, что \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize = 1. Кроме того, \sin x \to 0 при x \to 0. Поэтому предельный переход x \to 0 во втором пределе можно заменить на \sin x \to 0. Это приводит к следующему выражению: {\ln L = 1 \cdot \lim\limits_{\sin x \to 0} \left( {\ln \left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right]} \right) } = {\ln \lim\limits_{\sin x \to 0} \left[ {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} \right].} Учитывая, что \lim\limits_{\sin x \to 0} {{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^{\large\frac{1}{{\sin 2x}}\normalsize}}} = e, получаем \ln L = \ln e = 1. Следовательно, L = e.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *