Асимптотой кривой, представленной функцией y = f(x), которая обладает бесконечной ветвью, устанавливается в качестве прямой линии. Расстояние между этой прямой и точкой \left( {x,f\left( x \right)} \right), на кривой стремится к нулю при движении вдоль ветви к бесконечности.
Асимптоты бывают различных типов: вертикальные, наклонные и горизонтальные. Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как специфический вид наклонной асимптоты.
Вертикальная асимптота
Прямая, заданная уравнением x = a, служит вертикальной асимптотой для графика функции y = f(x), если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
\lim\limits_{x \to a — 0} f(x) = \pm \infty , \lim\limits_{x \to a + 0} f(x) = \pm \infty .То есть, по меньшей мере один из односторонних пределов в точке x = a должен быть равен бесконечности.
Вертикальная асимптота обычно присутствует у функций дробно-рационального вида в точках, где знаменатель обращается в ноль, а числитель остается не равным нулю (то есть в точках второго рода разрыва). Например, у графика функции y = \frac{1}{x} вертикальная асимптота находится на x = 0 (см. рисунок 1). В этом случае оба односторонних предела (с левой и правой стороны) уходят в бесконечность:
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = — \infty ,;;;\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = + \infty .Функции, которые являются непрерывными на всем множестве действительных чисел, вертикальных асимптот не имеют.
Наклонная асимптота
Мы называем прямую y = kx + b наклонной асимптотой к графику функции y = f(x), если когда x стремится к +\infty, значение выражения
\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) — (kx + b)} \right]стремится к нулю.
Аналогично, мы можем определить наклонную асимптоту при x стремящемся к -\infty.
Важно отметить, что для функции y = f(x) наклонные асимптоты могут отличаться в случае когда x стремится к +\infty и когда x стремится к -\infty. Поэтому при вычислении наклонных (или горизонтальных) асимптот, оба случая необходимо рассмотреть отдельно.
Коэффициенты k и b для наклонной асимптоты y = kx + b можно определить с помощью следующей теоремы:
Прямая y = kx + b будет асимптотой графика функции y = f(x) при x \to +\infty, если и только если существуют следующие два конечных предела:
\lim\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k и \lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) — kx} \right] = b.
Процесс доказательства.
Сперва, допустим что прямая y = kx + b является асимптотой кривой функции y = f(x) когда x \to +\infty. Это подразумевает следующее условие:
\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) — (kx + b)} \right] = 0или, аналогично:
{f(x) = kx + b + \alpha (x),};;;{\text{где};;\lim\limits_{x \to + \infty } \alpha (x) = 0.}Разделив последнее уравнение на x, получим:
{\frac{{f(x)}}{x} = \frac{{kx + b + \alpha (x)}}{x},};;{\Rightarrow \frac{{f(x)}}{x} = k + \frac{b}{x} + \frac{{\alpha (x)}}{x}.}Тогда, при x \to +\infty, мы имеем:
{\lim\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} } = {\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {k + \frac{b}{x} + \frac{{\alpha (x)}}{x}} \right] = k,} {\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) — kx} \right] } = {\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {b + \alpha (x)} \right] = b.}Таким образом, это доказывает необходимость данных условий для того, чтобы прямая была асимптотой кривой функции при x \to +\infty.
Достаточность. Пусть существуют конечные пределы:
\lim\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k;;;\text{и};;{\lim\limits_{x \to + \infty } [f(x) — kx] = b.}Второй предел можно записать в виде
\lim\limits_{x \to + \infty } [f(x) — (kx + b)] = 0,что соответствует определению наклонной асимптоты. Таким образом, прямая y = kx + b является асимптотой графика функции y = f(x).
Замечание: Аналогично можно доказать теорему для случая x \to -\infty.
Горизонтальная асимптота
В частном случае, если k = 0, мы получаем горизонтальную асимптоту, которая описывается уравнением y = b. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования горизонтальной асимптоты формулируется следующим образом:
Достаточность. Чтобы прямая y = c служила асимптотой графика функции y = f\left( x \right) при x \to +\infty, требуется и достаточно, чтобы существовал конечный предел:
\lim\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = c.Подобный случай рассмотрен для x \to -\infty.
Асимптоты кривой, определенной параметрически
Предположим, что плоская кривая задана параметрическими уравнениями
x = \phi \left( t \right),;;;y = \psi \left( t \right).Указанная линия обладает вертикальной асимптотой x = a при t \to {t_0}, если выполняются условия
\lim\limits_{t \to {t_0}} \phi \left( t \right) = a;;;\text{и};;;\lim\limits_{t \to {t_0}} \psi \left( t \right) = \pm \infty .Точно так же, параметрически определенная линия имеет горизонтальную асимптоту y = b при t \to {t_2}, если выполняются следующие условия:
\lim\limits_{t \to {t_2}} \varphi \left( t \right) = \pm \infty;;;\text{и};;;\lim\limits_{t \to {t_2}} \psi \left( t \right) = b.Здесь a и b являются конечными значениями.
Параметрически определенная кривая имеет наклонную асимптоту y = kx + b при t \to {t_3}, если при этом значении t оба предела равны бесконечности:
{\lim\limits_{t \to {t_3}} \varphi \left( t \right) = \pm \infty ,};;;{\lim\limits_{t \to {t_3}} \psi \left( t \right) = \pm \infty ,}а коэффициенты k и b имеют конечные значения:
{k = \lim\limits_{t \to {t_3}} \frac{{\psi \left( t \right)}}{{\varphi \left( t \right)}},};;;{b = \lim\limits_{t \to {t_3}} \left[ {\psi \left( t \right) — k\varphi \left( t \right)} \right].}Давайте рассмотрим кривую, которая определена в полярных координатах уравнением
\rho = \rho (\varphi);;; \text{или} ;;; F(\rho, \varphi) = 0.Её возможная асимптота (в случае, если она существует) может быть описана с использованием двух параметров: расстояния p от центра до асимптоты (отрезка OA на рисунке 3) и угла \alpha, который асимптота образует с полярной осью.
Указанные параметры \alpha и p определяются следующими формулами:
\alpha = \lim_{\rho \to \infty} \varphi, p = \lim_{\rho \to \infty} [\rho \sin (\alpha — \varphi)].Важно отметить:
- В последней формуле, предельное условие \rho \to \infty можно заменить эквивалентным условием \varphi \to \alpha.
- Параметр p может быть как положительным, так и отрицательным значением.
-
Рис.3
Асимптоты кривой, определенной неявно
Кривая, заданная неявно, описывается уравнением
G(x, y) = 0,где левая часть — многочлен, зависящий от переменных x и y.
Для определения наклонной асимптоты алгебраической кривой в дифференциальной геометрии используется следующий подход. Предположим, что асимптота описывается уравнением y = mx + c. Заменив y на это выражение в уравнении кривой, получаем алгебраическое уравнение относительно одной переменной x:
B_0 x^n + B_1 x^{n-1} + \ldots + B_{n-1} x + B_n = 0,где коэффициенты B_i зависят от параметров асимптоты m и c (при этом коэффициент B_0 зависит только от m). Значения m и c определяются из условия:
\begin{cases} B_0(m) = 0 \ B_1(m, c) = 0 \end{cases}Чтобы определить вертикальную асимптоту, необходимо подставить ее уравнение x = a в уравнение кривой и привести полученное уравнение к следующему виду:
{B_0}{y^n} + {B_1}{y^{n — 1}} + \ldots + {B_{n — 1}}y + {B_n} = 0.Важным условием для существования вертикальной асимптоты является отсутствие в этом уравнении старшего члена {B_0}{y^n}. Параметр a определяется из условия
{B_1}(a) = 0.Указанные формулы для асимптот неявно заданных кривых действительны, если на бесконечности у кривой нет особых точек.
Пример 1
Определить асимптоты графика функции
y = \frac{x}{{x + 1}}.Решение.
При x = -1 функция имеет разрыв второго рода. Действительно:
{\lim\limits_{x \to — 1 — 0} f(x) }= {\lim\limits_{x \to — 1 — 0} \frac{x}{{x + 1}} }= {\frac{{ — 1}}{{\left( { — 1 — 0} \right) + 1}} }= {\frac{{ — 1}}{{ — 0}} = + \infty ,}Следовательно, x = -1 является уравнением вертикальной асимптоты.
Определим горизонтальную асимптоту. Для этого рассчитаем предел:
\lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{x + 1}} = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1.Получаем, что у кривой существует горизонтальная асимптота с уравнением y = 1.
Наклонных асимптот не наблюдается. Это можно подтвердить, рассчитав коэффициенты k и b:
k = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{y\left( x \right)}}{x} = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)x}} = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{{x^2} + x}} = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0, b = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y\left( x \right) — kx} \right] = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{x}{{x + 1}} — 0} \right) = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1.Очевидно, мы на самом деле получили горизонтальную асимптоту, которую мы уже определили ранее.
Финальный ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту x = -1 и горизонтальную асимптоту y = 1 (см. рисунок 4).
Пример 2
Определить асимптоты графика функции
y = \frac{x}{{(x — 1)^2}}.Решение.
Определим односторонние пределы функции при x стремящемся к 1:
\lim\limits_{x \to 1^-} y(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} \frac{x}{{(x — 1)^2}} = \frac{1}{{(1 — 1)^2}} = + \infty, \lim\limits_{x \to 1^+} y(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} \frac{x}{{(x — 1)^2}} = \frac{1}{{(1 — 1)^2}} = + \infty.Оба односторонних предела равны бесконечности, что означает, что x = 1 является вертикальной асимптотой данной функции.
Изучим наклонные асимптоты:
k = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{{y(x)}}{x} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{\cancel{x}}{{(x — 1)^2 \cancel{x}}} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{1}{{(x — 1)^2}} = 0; b = \lim_{{x \to \pm \infty}} [y(x) — kx] = \lim_{{x \to \pm \infty}} [\frac{x}{{(x — 1)^2}} — 0] = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{x}{{x^2 — 2x + 1}} = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{{1/x}}{{1 — 2/x + 1/x^2}} = 0.Из этого следует, что существует не наклонная, а горизонтальная асимптота при x \to \pm \infty. Ее уравнение принимает вид y = 0, то есть асимптотой является ось абсцисс.
График функции и его асимптоты приведены на рисунке 5.
Пример 3
Определить асимптоты графика функции
y = \frac{{3{x^2} — 2x + 1}}{{x — 1}}.Решение.
Очевидно, что прямая x = 1 служит вертикальной асимптотой, так как функция в этой точке прерывается и выполняются следующие соотношения:
{\lim\limits_{x \to 1 — 0} y\left( x \right) }= {\lim\limits_{x \to 1 — 0} \frac{{3{x^2} — 2x + 1}}{{x — 1}} }= {\frac{{3{{\left( {1 — 0} \right)}^2} — 2\left( {1 — 0} \right) + 1}}{{1 — 0 — 1}} = — \infty ,} {\lim\limits_{x \to 1 + 0} y\left( x \right) }= {\lim\limits_{x \to 1 + 0} \frac{{3{x^2} — 2x + 1}}{{x — 1}} }= {\frac{{3{{\left( {1 + 0} \right)}^2} — 2\left( {1 + 0} \right) + 1}}{{1 + 0 — 1}} = + \infty .}Переформатируем функцию в виде
{y = \frac{{3{x^2} — 2x + 1}}{{x — 1}} }= {\frac{{3{x^2} — 3x + x — 1 + 2}}{{x — 1}} }= {\frac{{3x\cancel{\left( {x — 1} \right)}}}{\cancel{x — 1}} + \frac{\cancel{x — 1}}{\cancel{x — 1}} + \frac{2}{{x — 1}} }= {3x + 1 + \alpha \left( x \right),}где \alpha \left( x \right) \to 0 когда x \to \pm \infty.
Таким образом, график функции имеет асимптоту, которая представляет собой наклонную прямую y = 3x + 1.
Интересно отметить, что функция, которая является дробью, где числитель имеет степень, на единицу большую степени знаменателя, может иметь наклонную асимптоту. Это иллюстрируется на представленном выше рисунке 6.
Пример 4
Найдем асимптоты графика функции
y = x + \arctan x.Решение.
Данная функция является непрерывной на всем диапазоне действительных чисел, поэтому у нее нет вертикальных асимптот. Давайте исследуем наличие наклонных асимптот:
{k = \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{y\left( x \right)}}{x} }= {\lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + \arctan x}}{x} }= {\lim\limits_{x \to \pm \infty } \left( {1 + \frac{{\arctan x}}{x}} \right) }= {1 + \lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\arctan x}}{x}.}Функция арктангенс ограничена в интервале \left( { — \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right). Поэтому в последнем выражении предел при x \to \pm \infty равен нулю. Следовательно, k = 1, причем это значение одинаково при стремлении к плюс- или минус-бесконечности. Вычислим коэффициент b отдельно для случая x \to -\infty и x \to +\infty:
{b_1 = \lim\limits_{x \to — \infty } \left[ {y\left( x \right) — kx} \right] }= {\lim\limits_{x \to — \infty } \left[ {x + \arctan x — x} \right] }= {\lim\limits_{x \to — \infty } \arctan x }= { — \frac{\pi }{2},} {b_2 = \lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {y\left( x \right) — kx} \right] }= {\lim\limits_{x \to + \infty } \arctan x }= { + \frac{\pi }{2}.}Таким образом, найдено две наклонных асимптоты (одна для случая x \to -\infty и другая для x \to +\infty). Их уравнения имеют такой вид:
{x \to — \infty :; y = kx + {b_1} }= {x — \frac{\pi }{2},} {x \to + \infty :; y = kx + {b_2} }= {x + \frac{\pi }{2}.}Схематический вид функции и ее асимптот показан на рисунке 7.
Пример 5
Определить асимптоты графика функции
y = \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{x — 1}}.Решение.
Функция обрывается в точке x = 1. Так как
\lim_{{x \to 1^-}} y(x) = \lim_{{x \to 1^-}} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{x — 1}} = \frac{{\sqrt {1 + {(1 — 0)^2}} }}{{(1 — 0) — 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{0} = — \infty, \lim_{{x \to 1^+}} y(x) = \lim_{{x \to 1^+}} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{x — 1}} = \frac{{\sqrt {1 + {(1 + 0)^2}} }}{{(1 + 0) — 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{0} = + \infty,то x = 1 является вертикальной асимптотой.
Поскольку скорости роста числителя и знаменателя равны, график также имеет горизонтальную асимптоту. В пределе при x \to +\infty получаем
Таким же образом, предел функции при x \to -\infty равен
\lim_{{x \to -\infty}} y(x) = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{{\sqrt{1 + x^2}}}{{x — 1}} = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{{\sqrt{1 + x^2}}}{{- \sqrt{(x — 1)^2}}} = — \lim_{{x \to -\infty}} \sqrt{\frac{{1 + x^2}}{{x^2 — 2x + 1}}} = — \lim_{{x \to -\infty}} \sqrt{\frac{{\frac{1}{x^2} + 1}}{{1 — \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}} = — \frac{1}{1} = — 1.Таким образом, при x \to +\infty график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 1, а при x \to -\infty − асимптоту y = -1. Схематически график функции показан на рисунке 8.
